Desarrollo del problema con cálculo:
Formulas
Para hallar el área total. A= 2πrh + 2πr2
Para hallar el volumen. V= πr2h
Le di valor a volumen, ya que me fije en que la mayoría de latas poseen un volumen de 350cm3. Entonces tenemos una lata con V = 350cm3
La formula anterior quedo así: 350 = πr2h
Luego despejamos h. h= 350/πr2
Según una información encontrada, el minimizar el costo equivale a minimizar el área total. A= área total
A= 2πr (350/ πr2) + 2πr2 Reemplazamos h.
A= 2πr (350/ πr2) + 2πr2 Cancelo los πr y queda lo siguiente:
A= (2). (350/r) + 2πr2 Luego de esto hago del número 2 un fraccionario.
A= (2/1). (350/r) + 2πr2 Después resuelvo esta multiplicación de fraccionarios.
A= (700 + 2πr2)/r Aquí empiezo a derivar el área total.
A’= [(700)’ – 700(1)’ + (2). (2 πr)2-1]/r2
A’= [(1).(0) – 700.(0) + 4πr ]/r2
A’= (– 700 + 4πr)/r2
(– 700/r2) + (4πr/1) = (-700 + 4πr3)/r2 resolver multiplicacion fraccionarios.
(-700 + 4πr3)/r2 = 0 Para minimizar debemos igualar a cero “0”
0. r2 = -700 + 4πr3 Hacemos transposición de términos.
0 + 700 = 4πr3
4πr3 = 700
r3= 700/4π 4π= 12.566 = 4 (3.1416)
3√r3 = 3√700/4π Sacamos raíz cúbica a ambos lados, de lo que resulta:
r = 3.81911
h= 350/πr2 h= 350/π(3,81911)2 h= 7.63
h= 2r
7.63 = 2(3.81911)
Basándome en los resultados del ejemplo 2 de la sección 4.7. (Stewart 2008) y comparándolos con los míos concluyo que h=2r
Para el desarrollo con cálculo del problema tuve que apoyarme en el libro matemática experimental 11 y en algunas formulas de los cilindros.
miércoles, 26 de octubre de 2011
El Problema
PROBLEMA
El problema que se pretende resolver es el siguiente: “En este proyecto, se investiga el modo más económico de formar una lata. En primer lugar, esto significa que se da el volumen V de una lata cilíndrica y necesita hallar la altura h y el radio r que minimice el costo del metal para fabricarla. Si hace caso omiso de cualquier desecho de metal en el proceso de fabricación, el problema es minimizar el área superficial del cilindro. En el ejemplo 2 de la sección 4.7, se resolvió este problema y halló que h=2r; es decir, la altura debe ser igual al diámetro. Pero si usted va a su alacena o al supermercado con una regla, descubrirá que la altura suele ser mayor que el diámetro y que la relación h/r varía desde 2 hasta alrededor de 3.8." (Stewart 2008). ¿Puede explicar este fenómeno?
Optimización
OPTMIZACIÓN
En la resolución de problemas de optimización de funciones seguiremos los siguientes pasos:
1. Plantear la función que hay que maximizar o minimizar.
2. Plantear una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.
3.Despejar una variable de la ecuación y sustituirla en la función de modo que nos quede una sola variable.
4. Derivar la función e igualarla a cero, para hallar los extremos locales.
5. Realizar la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.
Problemas de optimización
De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima.
La función que tenemos que maximizar es el área del triángulo:
Relacionamos las variables:
2 x + 2 y = 12
x = 6 − y
Sustituimos en la función:
Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.
Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que la solución y = 0 la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero.
Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo.
La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el triangulo de área máxima sería un triangulo equilatero.
Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo.
Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel.
Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.
El valor de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Divide un diamante de 2 g en dos partes de forma que la suma de los valores de los dos diamantees formados sea mínima.
El diamante se ha de dividir en dos partes iguales de 1 g.
Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus bases ha de ser construido mediante dos placas circulares de 3 m de radio. Calcular las dimensiones de la boya para que su volumen sea máximo.
sábado, 22 de octubre de 2011
Criterios de Las Derivadas y De Los Puntos Críticos
Criterio De La Primera Derivada :
Teorema Valor Máximo Y Mínimo:
"Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue."
1. Si f '(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
2. Si f '(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)).
3. Si f '(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo. El criterio no decide.
Ejemplo:
Criterio De La Segunda Derivada:
Es un teorema o método del calculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es convexa en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0,f(c)debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f'(c) = 0,f(c)debe ser un máximo relativo de f.
Teorema:
Sea f una función tal que f'(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c
- Si f''(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)
- Si f''(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)).
Si f''(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo en (c,f(c)) o ninguno de los dos. Tomar como ejemplo la función f(x) = x³. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.
Ejemplo:
PUNTOS CRÍTICOS
Máximos Y Mínimos:
Recordemos que f derivable, es estrictamente creciente (decreciente) en a si, y sólo si f´(a) >0 (f´(a) <0); lo que geométricamente significa que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es positiva (negativa).Recordemos también que si f derivable posee un máximo o un mínimo relativo en entonces f´(x) = 0; es decir, ese es un punto de tangente horizontal.
Veamos los criterios básicos para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo:
- Por la definición en un entorno del punto.
- Por la variación del signo de la derivada primera en un entorno del punto, aunque la función no sea derivable en dicho punto.
- f decreciente en (a,c) y creciente en (c,b) posee un mínimo en (c,f(c)
- f creciente en (a,c) y decreciente en (c,b) posee un máximo en (c,f(c))
EJEMPLOS
a. Si f´(a) = 0 y f´´(x) > 0, f posee en a un mínimo local.
b. Si f´(a) = 0 y f´´(x) < 0, f posee en a un máximo local.
Punto de Inflexión:
Punto de Inflexión:
Es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.
En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.
Ejemplo:
Derivadas
Una Derivada Es:
es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.
Derivada De Una Función Constante:
Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x), f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que
Luego la derivada de una constante es siempre cero.
Este es un Ejemplo:
Derivada Exponencial:
La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.
es igual a la misma función por la derivada del exponente.
Ejemplo:
Derivada de Una Raíz:
La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces de la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos Uno.
Derivada de La Raíz Cuadrada
La derivada de la raíz cuadrada de una función es igual a la derivada del radicando partida por el duplo de la raíz.
Ejemplo:
es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.
Derivada De Una Función Constante:
Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x), f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que
Luego la derivada de una constante es siempre cero.
Este es un Ejemplo:
Derivada Exponencial:
La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.
Derivada de la función exponencial de base e:
La derivada de la función exponencial de base ees igual a la misma función por la derivada del exponente.
Ejemplo:
Derivada de Una Raíz:
La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces de la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos Uno.
Derivada de La Raíz Cuadrada
La derivada de la raíz cuadrada de una función es igual a la derivada del radicando partida por el duplo de la raíz.
Ejemplo:
jueves, 20 de octubre de 2011
Cronograma
| Semana | Manera como se implementa la propuesta | Fecha |
| 1 | Creación del Blog. Inscripción a Diario de Comentarios. | Octubre 5 al 07 |
| 2 | Leer propuesta de intervención. Comentarla en una entrada. Dar la primera solución al problema propuesto. (Sin usar cálculo). | Octubre 08 al 12 |
| 3 | Entradas para los siguientes conceptos: 1) Derivada. Primeros teoremas (derivada de una función constante, exponencial, de un producto de un cociente, de una raíz). 2) Derivación en cadena. 3) Derivación Implícita. | Octubre 13 al 16 |
| 4 | 1) Criterios de la primera y segunda derivada. 2)Puntos Críticos: Máximos, Mínimos, Inflexión | Octubre 17 al 20 |
| 5 | Optimización 1. Ejemplos. | Octubre 21 al 23 |
| 6 | Optimización 2. Acercamiento al problema. | Octubre 24 al 26 |
| 7 | Dar la segunda solución al problema (borrador) | Octubre 27 al 29 |
| 8 | Solución final al problema con cálculo. | Octubre 30 Noviembre 4 |
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